Question

已知x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，求函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的最小值．

Answer 1

分析：根据指数的运算性质，我们可将函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的解析式化为y=

1

2

(2x-a)2+1，由x满足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，我们求出满足条件的x的取值范围，结合二次函数在定区间了最小值的确定方法，我们易求出函数y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的最小值．

解答：解：解不等式 （log₂x）²-log₂x²≤0，
得 1≤x≤4，
所以 2≤2^x≤16
y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1=

1

2

(2x)2-a•2x+

a2

2

+1=

1

2

(2x-a)2+1
当a＜2时，ymin=

1

2

(2-a)2+1；
当2≤a≤16时，y_min=1
当a＞16时，ymin=

1

2

(16-a)2+1

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，指数的运算性质，二次函数在定区间上的最值问题，其中根据已知求出满足条件的x的取值范围，进而求出2^x的取值范围，将问题转化为二次函数在定区间上的最值问题，是解答本题的关键．