题目内容
已知函数f（x）=lg（ax-kbx）（k＞0，a＞1＞b＞0）的定义域恰为（0，+∞），是否存在这样的a，b，使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=lg4？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
分析：先带着参数求出函数f（x）=lg（ax-kbx）的定义域，为（log
k，+∞），因为已知函数的定义域为（0，+∞），所以可知log
k=0，求出k值为1．这样函数可化简为f （x）=lg（ax-bx）．假设存在适合条件的a，b，使得f（x）恰在（1，+∞）上取正值，且f（3）=lg4，则f （3）=lg（a3-b3）=lg4且lg（ax-bx）＞0 对x＞1恒成立，根据函数的单调性知，x＞1时f （x）＞f （1），又因为f（1）=0，所以a-b=1 又a3-b3=4，即可求出a，b的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解∵ax-kbx＞0，即 （
）x＞k．
又 a＞1＞b＞0，∴
＞1
∴x＞log
k为其定义域满足的条件，
又∵函数f （x） 的定义域恰为（0，+∞），
∴log
k=0，∴k=1．
∴f （x）=lg（ax-bx）．
若存在适合条件的a，b，则f （3）=lg（a3-b3）=lg4且lg（ax-bx）＞0 对x＞1恒成立，
又由题意可知f （x）在（1，+∞）上单调递增．
∴x＞1时f （x）＞f （1），
由题意可知f （1）=0 即a-b=1 又a3-b3=4
注意到a＞1＞b＞0，解得a=
，b=
．
∴存在这样的a，b满足题意．
| a |
| b |
又 a＞1＞b＞0，∴
| a |
| b |
∴x＞log
| a |
| b |
又∵函数f （x） 的定义域恰为（0，+∞），
∴log
| a |
| b |
∴f （x）=lg（ax-bx）．
若存在适合条件的a，b，则f （3）=lg（a3-b3）=lg4且lg（ax-bx）＞0 对x＞1恒成立，
又由题意可知f （x）在（1，+∞）上单调递增．
∴x＞1时f （x）＞f （1），
由题意可知f （1）=0 即a-b=1 又a3-b3=4
注意到a＞1＞b＞0，解得a=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴存在这样的a，b满足题意．
点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，考察了学生的理解力，转化能力以及计算能力．
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