Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2）
（I）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1，得到an=2an-1 ，  

an

an-1

=2，再由a₁=2，能求出数列{a_n} 的通项公式．
（II）由（I）知：b_n=n•a_n，故Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，利用错位相减法能够求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵3S_n=5a_n-4a_n-1+3S_n-1（n≥2），
∴3S_n-3S_n-1=5a_n-4a_n-1（n≥2），
∴an=2an-1 ，  

an

an-1

=2，…（3分）
又∵a₁=2，
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，…（4分）
∴an=2•2n-1=2n．…（5分）
（Ⅱ）由（I）中an=2•2n-1=2n
∴bn=n•2n，
Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2Tn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1．…（8分）
两式相减得：-Tn=21+22+…+2n-n•2n+1，
∴-Tn=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，…（11分）
∴Tn=2+(n-1)•2n+1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法、分类讨论思想的灵活运用．