Question

已知函数f(x)=xn-

4

x

，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若在区间[1，3]上，不等式f（x）＞2x+2m+1恒成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（4）=3可求n=1，从而可得f(x)=x-

4

x

，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可判断
（2）要判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，先设0＜x₁＜x₂，时，利用作差f（x₁）-f（x₂）判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可判断
（3）由f（x）＞2x+2m+1，可得2m+1＜-x-

4

x

=-(x+

4

x

)，只要求2m+1＜-x-

4

x

=-(x+

4

x

)_min，可求m的范围

解答：解：（1）由f（4）=3得：n=1
∴f(x)=x-

4

x

，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
又f(-x)=-x-

4

-x

=-(x-

4

x

)=-f(x)
∴函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：任取x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
那么f(x1)-f(x2)=(x1-

4

x1

)-(x2-

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2+4)

x1x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x）＞2x+2m+1，
得x-

4

x

＞2x+2m+1
∴2m+1＜-x-

4

x

∴当x∈[1，3]，-(x+

4

x

)的最小值是-5，
∴2m+1＜-5，得m＜-3，
所以实数m的取值范围是（-∞，-3）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的应用，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化的应用，属于函数知识的综合应用