Question

(满分12分) 偶函数f(x)的定义域为R，若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立，又当0≤x≤1时，f(x)=-x²+4.
(1)求证f(x)是周期函数，并确定它的周期；　 (2)求当 1≤x≤2时，f(x)的解析式。

Answer 1

（满分12分）(1)∵ f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1)，
　　∴ f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)，
　　则f(x)的一个周期为2，且2n(n∈Z，n≠0)都是y=f(x)的周期。
　　(2)设1≤x≤2，则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1，
　　由已知有：f(2-x)=-(2-x)²+4，
　　∵ f(x)的周期为2，且为偶函数，∴ f(2-x)=f(-x)=f(x).
　　∴ 当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)²+4。