Question

在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y²=1有两个不同的交点P和Q.

(1)求k的取值范围;

(2)设椭圆与x轴正半轴,y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)由已知条件,l的方程为y=kx+,

代入椭圆方程得+(kx+)²=1.

即(+k²)x²+2kx+1=0.

所以Δ=8k²-4(+k²)=4k²-2＞0,

解得k＜或k＞,即k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).

(2)设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),由直线l与椭圆方程联立得

(+k²)x²+2kx+1=0得

x₁+x₂=，

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2=.

又由+与共线得

（x₁,y₁）+(x₂,y₂)=λ(-,1),即

x₁+x₂=-2(y₁+y₂),

即=-·,解得

k=.

不符合第（1）问k的范围，故不存在符合题意的常数k.