题目内容

已知等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和 $数学公式$ ．函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在 $数学公式$ 处取得最大值，且最大值为a₃，则函数f（x）的解析式为________．

$\text{[math]}$
分析：根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S₃= $\text{[math]}$ ，解方程得到首项的值可得a₃的值，即可得到A的值，然后把x= $\text{[math]}$ 代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．
解答：由等比数列{a_n}的公比q=3，前3项和 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 a₁= $\text{[math]}$ ．
∴a_n= $\text{[math]}$ 3^n-1=3^n-2，∴a₃=3．因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3．
又因为当x= $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值，所以sin（2× $\text{[math]}$ +φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ= $\text{[math]}$ ，
则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
故答案为 f（x）=3sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．