Question

如图，△ABC中，D为边AB上的点，∠CAD=60°，CD=21，CB=31，DB=20．
（I）记∠CDB=α，求sinα；
（II）求AD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△CBD中由余弦定理可得cosα的值，从而求得sinα的值．
（Ⅱ）记∠ACD=β，由三角形的外角定理可得β=60°-α，再利用两角和差的正弦公式求出sinβ的值，△ACD中，由正弦定理求得AD的长．

解答：解：（Ⅰ）在△CBD中，∵CD=21，CB=31，DB=20，由余弦定理可得 cosα=

BD2+CD2-CB2

2•BD•CD

=-

1

7

．
∴sinα=

1-cos2α

=

4

7

3

．…（6分）
（Ⅱ）记∠ACD=β，则sinβ=sin(α-60°)=sinαcos60°-cosαsin60°=

5

14

3

，
在△ACD中，由正弦定理得 

21

sin60°

=

AD

sinβ

，故有AD=

21sinβ

sin60°

=15．…（12分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的正弦公式，属于中档题．