Question

已知a∈R，函数f （x）=-x³+ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，求出的解集就是增区间．
（2）函数f （x）要在R上单调递减则要使fˊ（x）≤0恒成立，这样转化成二次函数恒小于零即可．
（3）函数f（x）在[-1，1]上单调递增可转化成f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，可利用参数分离法将变量a分离出来，然后求函数的最值即可．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-x³+x²+2x，
∴f'（x）=-x²+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递减，则f'（x）≤0对x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）能在R上单调递减；（10分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2对x∈[-1，1]都成立，即a≥对x∈[-1，1]都成立．（12分）
令g（x）=，则g'（x）==．
当-1≤x＜0时，g'（x）＜0；当0≤x＜1时，g'（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增．
∵g（-1）=1，g（1）=，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）
点评：本题是一道函数的综合题，主要考查了函数的单调区间，函数的恒成立问题，属于中档题．