Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4a_n-8．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，若T_n是数列{b_n}的前n项和，求数列{

1

Tn

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列，由此可求数列{a_n}通项公式；
（2）确定数列{b_n}的通项，进而可求数列{b_n}的前n项和，利用裂项法，可求数列{

1

Tn

}的前n项和．

解答：解：（1）∵3S_n=4a_n-8，①
∴当n≥2时，3S_n-1=4a_n-1-8②
①-②得，3（S_n-S_n-1）=4a_n-4a_n-1，∴a_n=4a_n-1，
n=1时，3S₁=4a₁-8，∴a₁=8
∴数列{a_n}是以8为首项，4为公比的等比数列
∴a_n=2²ⁿ⁺¹；
（2）b_n=log₂a_n=2n+1，∴T_n=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）
∴

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴数列{

1

Tn

}的前n项和为

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+9n+4

2(n+1)(n+2)

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．