Question

数列{a_n}是这样确定的：a₁=1，a_n+1= pa_n+x，p≠0且p≠1，n=2，3，4．…，试归纳出a_n的表达式，并用数学归纳法予以证明。

Answer 1

解：a₂=pa₁+x=p+x，
a₃=pa₂+x=P（p+x）+x=p²+（p+1）x，
同理a₄=p³+（p²+p+1）x，
…
猜想a_n=P^n-1+（p^n-2+p^n-3+…+1）·x，
证明：（1）当n=1时，公式成立；
（2）假设n=k时，公式成立，即，
则n=k+1时，a_k+1=pa_k+x=p，
∴当n=k+1时公式也成立，
由（1）、（2）知，公式对任何n∈N*都成立。