Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）求直线AB与平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，侧面PAB⊥底面ABCD，根据面面垂直的性质定理可得BC⊥侧面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得到侧面PAB⊥侧面PBC；
（2）取AB中点E，连接PE、CE，根据（1）的结论和等腰三角形性质，可得∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角，解三角形PCE即可求出侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（3）取CD中点F，连EF、PF，可得EG⊥平面PCD，解△PEF求了EG的长，即可求出直线AB与平面PCD的距离．

解答：证明：（1）在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB  又∵BC?侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC；
解：（2）取AB中点E，连接PE、CE
又∵△PAB是等边三角形∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
PE=

3

2

BA=

3

，CE=

BE2+BC2

=

3

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（3）在矩形ABCD中，AB∥CD
∵CD?侧面PCD，AB?侧面PCD，∴AB∥侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF   又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足为G，则EG⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=

PE•EC

PF

=

30

5

为所求．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，线面距离；（1）的关键是熟练掌握面面垂直的判定及性质，（2）的关键是求出线面夹角的平面角，（3）是找到直线与平面的公垂线段．