题目内容

已知 $数学公式$ ，若f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），记g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表达式；
（2）若对一切 $数学公式$ 都有kg（a）-1＜0成立，求实数k的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ x∈[1，3]
由 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ．从而 $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（3）=9a-5
当 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（1）=a-1
∴ $\text{[math]}$
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为减函数．
∴ $\text{[math]}$ ．
要使kg（a）-1＜0恒成立，则 $\text{[math]}$ 恒成立．而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
又当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为增函数
∴ $\text{[math]}$
要使kg（a）-1＜0恒成立．则 $\text{[math]}$ 恒成立．而 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
综上得， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将f（x）=ax²-2x+1配方化为 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 可求 $\text{[math]}$ ，求得N（a）；根据f（x）的对称轴 $\text{[math]}$ 在区间[1，3]的位置情况分类讨论，求得M（a），从而求得g（a）的解析表达式；
（2）对 $\text{[math]}$ ，分段研究函数的单调性，从而可求得各段上g（a）及 $\text{[math]}$ 的取值范围，及k满足的关系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解决问题．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想及恒成立思想的应用，中档题．