题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax²，x∈[0，+∞），a∈R
$数学公式$ ．

解：（1）当a= $\text{[math]}$ 时，f（x）=ln（1+x）-x+ $\text{[math]}$ x²，
∴f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥0在x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，
故当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）∵f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
①当 $\text{[math]}$ ，即a $\text{[math]}$ 时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0；
②当 $\text{[math]}$ ，即a＜0时，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0与题意不符；
③当 $\text{[math]}$ ，即0 $\text{[math]}$ 时，f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故在[0， $\text{[math]}$ ）上，f′（x）≤0，
∴f（x）≤f（0）=0与题意不符，
综上可得当且仅当a $\text{[math]}$ 时，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
分析：（1）把a= $\text{[math]}$ 代入已知式子，求导数可得函数单调增，进而可得f（x）≥f（0）=0；
（2）求导数可得f′（x）= $\text{[math]}$ ，分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三种情况讨论即可．
点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属中档题．

练习册系列答案

1加1阅读好卷系列答案

专项复习训练系列答案

初中语文教与学阅读系列答案

阅读快车系列答案

完形填空与阅读理解周秘计划系列答案

英语阅读理解150篇系列答案

奔腾英语系列答案

标准阅读系列答案

53English系列答案

考纲强化阅读系列答案

相关题目

已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．

已知函数f（x）=x²+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥

恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），如果在函数f（x）图象上存在点M（x₀，y₀）（其中x₀∈（x₁，x₂））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x₀=

时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，

）上单调递减，在（

，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．