Question

定义数列中的前n项的积为数列的n项阶乘，记为，例如：（a_3n+1）!!=a₄•a₇•a₁₀•…•a_3n+1，已知f（x）=x-sinx在[0，n]上的最大值为b_n；设a_n=b_n+sin n．
（1）求a_n
（2）求证：
（3）是否存在m∈N^*使成立？若存在，求出所有的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f′（x）=1-cosx≥0，知f（x）在[0，n]上单调递增．所以f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn由此能求出a_n．
（2）由和能够证明．
（3）由=，知对于任意的m∈N^*均有．
解答：解：（1）∵f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在[0，n]上单调递增．
∴f（n）_max=f（n）=b_n=n-sinn，
∴a_n=b_n+sinn=n，
（2）∵
又，
∴，
（数学归纳法按（1分）+（3分）+（1分）评分）
（3）由（2）知：
=

=
=，
∴对于任意的m∈N^*均有．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．