题目内容
如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长.
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求线段MN的长.
（1）证明略（2）7
（1）连接AN并延长交BC于Q，
连接PQ，如图所示.
∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，
∴
=
=
=
，
又∵
=
=
，
∴
==，∴MN∥PQ，
又∵PQ
平面PBC，MN
平面PBC，
∴MN∥平面PBC.
（2）解 在等边△PBC中，∠PBC=60°，
在△PBQ中由余弦定理知
PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ
=132+
-2×13×
×
=
，
∴PQ=
，
∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，
∴MN=×
=7.
连接PQ，如图所示.
∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，
∴
===，又∵
==，∴
==，∴MN∥PQ，又∵PQ
平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.
（2）解 在等边△PBC中，∠PBC=60°，
在△PBQ中由余弦定理知
PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ
=132+
-2×13××=，∴PQ=
，∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，
∴MN=
×=7.
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、
、
分别为空间四边形
的边
，
，
上的点，且
．
平面
，
平面
的交线
．
，α⊥γ，β⊥γ，b∥α，b∥β．
