题目内容
已知函数f（x）=
．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．
| 3x-2-x |
| 3x+2-x |
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的值域．
（Ⅰ）由题意可得：x∈R，所以定义域关于原点对称．
又因为 f（x）=
=
=
所以f（-x）=
=
=-f（x），
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=
=
=1-
，在R上是增函数，
证明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
则 f（x1）-f（x2）=
-
=
＞0
所以f（x1）＞f（x2），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜
＜2
∴f（x）=1-
∈（-1，1），
所以f（x）的值域为（-1，1）．
又因为 f（x）=
| 3x-2-x |
| 3x+2-x |
| 2x•3x-1 |
| 2x•3x+1 |
| 6x-1 |
| 6x+1 |
所以f（-x）=
| 6-x-1 |
| 6-x+1 |
| 1-6x |
| 1+6x |
所以f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）=
| 6x-1 |
| 6x+1 |
| (6x+1)-2 |
| 6x+1 |
| 2 |
| 6x+1 |
证明如下：任意取x1，x2，并且x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
则 f（x1）-f（x2）=
| 2 |
| 6x2+1 |
| 2 |
| 6x1+1 |
| 2(6x1-6x2) |
| (6x1+1)( 6x2+1) |
所以f（x1）＞f（x2），则f（x）在R上是增函数．
（Ⅲ）∵0＜
| 2 |
| 6x+1 |
∴f（x）=1-
| 2 |
| 6x+1 |
所以f（x）的值域为（-1，1）．
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