Question

函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是

[-

3

2

，3]

．

Answer 1

分析：f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）⇒f（x）=2cosx+2cos²x-1，利用配方法结合y=cosx的值域即可求得函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．

解答：解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos²x-1=2(cosx+

1

2

)2-

3

2

，
又-1≤cosx≤1，
∴当cosx=1时，f（x）_max=2×

9

4

-

3

2

=3，
当cosx=-

1

2

时，f（x）_min=-

3

2

；
故函数f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[-

3

2

，3]．
故答案为：[-

3

2

，3]．

点评：本题考查三角函数的最值与复合三角函数的单调性，难点在于求复合函数f（x）=2(cosx+

1

2

)2-

3

2

的最值，着重考查分类讨论与转化思想，属于中档题．