Question

已知x满足不等式（log₂x）²-4log₂x+3≤0．
（1）求x的范围；
（2）在（1）的结论下，求f（x）=log₂

x

2

•log₂

x

4

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）（log₂x）²-4log₂x+3≤0⇒（log₂x-1）（log₂x-3）≤0，解此不等式即可求得x的范围；
（2）利用对数的运算性质可得f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2），配方即可求得f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵（log₂x）²-4log₂x+3≤0，
∴（log₂x-1）（log₂x-3）≤0，
∴1≤log₂x≤3，
∴2≤x≤8；
∴x的范围为[2，8]；
（2）∵f（x）=log₂

x

2

•log₂

x

4

=（log₂x-1）（log₂x-2）
=(log2x-

3

2

)2-

1

4

，1≤log₂x≤3，
∴当log₂x=

3

2

时，f（x）取到最小值-

1

4

；
当log₂x=3时，f（x）取到最大值2．

点评：本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．