Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=

1

2

AB，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点，过点A₁，B，M三点的平面A₁BMN交C₁D₁于点N．
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-B₁的正切值．

Answer 1

分析：（1）设A₁B₁的中点为F，连接EF、FC₁．跟中位线的性质可知EF

∥

.

1

2

B₁B．进而根据C₁M

∥

.

1

2

B₁B判断出EF

∥

.

MC₁．推断出EMC₁F为平行四边形．进而可知EM∥FC₁．推断出EM∥平面A₁B₁C₁D₁．
（2）作B₁H⊥A₁N于H，连接BH．根据BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，可知BH⊥A₁N，进而推断出∠BHB₁为二面角B-A₁N-B₁的平面角．根据EM∥平面A₁B₁C₁D₁，EM?平面A₁BMN，平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N，推断出EM∥A₁N．进而可推断出A₁N∥FC₁．A₁F∥NC₁，推知A₁FC₁N是平行四边形．AA₁=a，在Rt△A₁D₁N中，求得A₁N，进而求得sin∠A₁ND₁，同理求得B₁H则在Rt△BB₁H中求得答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连EF，C₁F
∵E为A₁B中点
∴EF∥

1

2

BB₁
又∵M为CC₁中点
∴EF∥C₁M
∴四边形EFC₁M为平行四边形
∴EM∥FC₁
而EM?平面A₁B₁C₁D₁．FC₁?平面A₁B₁C₁D₁．
∴EM∥平面A₁B₁C₁D₁   （6分）
（Ⅱ）由（1）EM∥平面A₁B₁C₁D₁
EM?平面A₁BMN
平面A₁BMN∩平面A₁B₁C₁D₁=A₁N
∴A₁N∥EM∥FC₁
∴N为C₁D₁ 中点
过B₁作B₁H⊥A₁N于H，连BH，
根据三垂线定理  BH⊥A₁N
∠BHB₁即为二面角B-A₁N-B₁的平面角（8分）
设AA₁=a，则AB=2a，
∵A₁B₁C₁D₁为正方形
∴A₁H=

5a

又∵△A₁B₁H∽△NA₁D₁
∴B₁H=

2a•2a

5 a

=

4a

5

，
在Rt△BB₁H中，tan∠BHB₁=

BB1

B1H

=

a

4a 5

=

5

4

即二面角B-A₁N-B₁的正切值为

5

4

（12分）

点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查了直线与平面平行的判定，面面角等．关键是正确运用线面平行的判定，作出二面角的平面角．