Question

已知关于x的二次函数f(x)=ax²-4bx+1，
(1)设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y=f(x)在区间[1，+∞)上是增函数的概率．

Answer 1

解：(1)∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=， 要使函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数， 当且仅当a>0且≤1，即2b≤a， 若a=1，则b=-2，-1； 若a=2，则b=-2，-1，1； 若a=3，则b=-2，-1，1； 若a=4，则b=-2，-1，1，2； 若a=5，则b=-2，-1，1，2； ∴所求事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16， ∴所求事件的概率为。
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时， 函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1，+∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为， 构成所求事件的区域为如右图阴影部分． 由得交点坐标为， ∴所求事件的概率为P=。