Question

图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．
（1）求该拱桥所在抛物线的标准方程；
（2）若在水面上有一宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥？

Answer 1

分析：（1）根据抛物线开口向下，建立直角坐标系如图所示．设抛物线标准方程为x²=-2py（p＞0），结合题意将点（2，-2）坐标代入解出p=1，从而得到该拱桥所在抛物线的标准方程；
（2）由题意问题转化为当抛物线上点的横坐标为1时，是否满足纵坐标y≤-1.6，由此进行计算即可得到该船只不能安全经过抛物线形拱桥．

解答：解：（1）以抛物线的轴为y轴，抛物线的顶点为原点，建立如图所求直角坐标系
设抛物线的标准方程为x²=-2py（p＞0）
∵抛物线经过点（2，-2）
∴2²=-2p•2，得p=1，
即所求抛物线的标准方程为x²=-2y；
（2）宽为2米，高为1.6米的船只能否安全通过拱桥，
即当抛物线上点的横坐标x=1时，是否满足纵坐标y≤-1.6
∵当x=1时，由1²=-2y得y=-

1

2

＞1.6
∴该船只不能安全经过抛物线形拱桥．

点评：本题以抛物线形拱桥为例，求曲线的方程并研究船只能否过桥问题，着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．