Question

（2012•湖北模拟）F为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为

3

-1

．

Answer 1

分析：由于OF为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点A的一个坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率

解答：解：∵椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，设F为右焦点，OF=c，A在第一象限，∴点A的坐标为（

c

2

，

3 c

2

）
代入椭圆方程得：

( c 2 )2

a2

+

( 3 c 2 )2

b2

=1，
即

c2

4a2

+

3c2

4(a2-c2)

=1
∴

1

4

e2+

3

4 ( 1 e2 - 1 )

=1
解得e=

3

-1
故答案为

3

-1

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，属基础题