Question

（19）如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC，AB=AC，A₁A=A₁B=a，侧面B₁BCC₁与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B₁C₁、A₁A的中点.

（Ⅰ）求A₁A与底面ABC所成的角；

（Ⅱ）证明A₁E∥平面B₁FC；

（Ⅲ）求经过A₁、A、B、C四点的球的体积.

Answer 1

（19）本小题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

（Ⅰ）解：过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H。连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是∠A₁AH为A₁A与底面ABC所成的角。

∵∠A₁AB=∠A₁AC，

∴AG为∠BAC的平分线

又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点。

因此，由三垂线定理，

A₁A⊥BC。

∵A₁A//B₁B，且EG//B₁B，∴EG⊥BC。于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，即

∠AGE=120°。

由于四边形A₁AGE为平行四边形，得

∠A₁AG=60°。

所以，A₁A与底面ABC所成的角为60°。

（Ⅱ）证明：设EC与B₁C的交点为P，则点P为EG的中点。连结PF。

在平行四边形AGEA₁中，因F为A₁A的中点，故A₁E//FP.

而FP平面B₁FC，A₁E平面B₁FC，所以A₁E//平面B₁FC。

（Ⅲ）解：连结A₁C。在△A₁AC和△A₁AB中，由于AC=AB，∠A₁AC=∠A₁AB，A₁A=A₁A，则

△A₁AC≌△A₁AB，故A₁C=A₁B。由已知得

A₁A=A₁B=A₁C=α。

又∵A₁H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心。

设所求球的球心为O，则O∈A₁H，且球心O与A₁A中点的连线OF⊥A₁A。

在Rt△A₁FO中，

A₁O=。

故所求球的半径R=α。球的体积

V=。