Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx）-2sin²

ωx

2

+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式和辅角公式先将函数f（x）化简成：f（x）=2sin（ωx+

π

6

）-1+m，再由最小正周期T=（2π）÷ω=3π求出ω，又当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0可以得出m的值，进而得到函数f（x）的表达式．
（2）将f（C）=1代入（1）中f（x）的表达式中求出C的值，再化简2sin²B=cosB+cos（A-C）又根据三角形的内角和为π求出sinA的值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx)-2•

1-cos(ωx)

2

+m=2sin(ωx+

π

6

)-1+m．
依题意：函数f(x)的最小正周期为3π，即

2π

ω

=3π，解得ω=

2

3

．
所以f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1+m．
当x∈[0，π]时，

π

6

≤

2x

3

+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(

2x

3

+

π

6

)≤1，
所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．
所以f(x)=2sin(

2x

3

+

π

6

)-1．
（Ⅱ）∵f(C)=2sin(

2C

3

+

π

6

)-1=1，∴sin(

2C

3

+

π

6

)=1．而

π

6

＜

2C

3

+

π

6

＜

5π

6

，所以

2C

3

+

π

6

=

π

2

．解得C=

π

2

．
在Rt△ABC中，∵A+B=

π

2

，2sin2B=cosB+cos(A-C)，
∴2cos2A-sinA-sinA=0，解得sinA=

-1± 5

2

．
∵0＜sinA＜1，∴sinA=

5 -1

2

．

点评：本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．这里要注意A表示振幅，ω与周期、频率有关，φ表示初相，以及ωx+φ表示相位．