Question

等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=9，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂）+2，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为

y=3²⁰¹²x+2

．

Answer 1

分析：数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质得到a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇，把已知的a₁=1，a₂₀₁₂=9代入，求出a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值，然后由函数解析式，利用求导法则求出f′（x），并把x=0代入导函数中，表示出f′（0），利用乘法运算律整理后，将求出的a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值代入，利用同底数幂的运算法则化简后，得出f′（0）的值，即为函数在（0，f（0））处的斜率，进而确定出函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程．

解答：解：∵等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=9，
∴a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇=9=3²，
且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂）+2，
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₂₀₁₂）=a₁•a₂•…•a₂₀₁₂，
=（a₁a₂₀₁₂）•（a₂a₂₀₁₁）•…•（a₁₀₀₆a₁₀₀₇）
=3²•3²•…•3²（1006个3²相乘）=3^1006×2=3²⁰¹²，
∴函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程y-f（0）=3²⁰¹²（x-0），即y=3²⁰¹²x+2．
故答案为：y=3²⁰¹²x+2．

点评：此题考查了等比数列的性质，求导法则，利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及直线的点斜式方程，其中利用等比数列的性质及求导法则求出f′（0）的值即切线方程的斜率是解本题的关键．