Question

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AC⊥BD；②AB与CD所成角为60°；③△ACD为正三角形；④AB与平面BCD所成角为60°．其中正确的结论是

 

（填写结论的序号）．

Answer 1

分析：根据已知中正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，我们以O点为坐标原点建立空间坐标系，求出ABCD各点坐标后，进而可以求出相关直线的方向向量及平面的法向量，然后代入线线夹角，线面夹角公式，及模长公式，分别计算即可得到答案．

解答：解：连接AC与BD交于O点，对折后如图所示，令OC=1
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）
则

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），∵

AC

•

BD

=0，故①AC⊥BD正确；

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），则|cos＜

AB

，

CD

＞|=|

AB • CD

| AB |•| CD |

|=

1

2

，故②AB与CD所成角为60°正确；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=

2

，∴③△ACD为正三角形正确；
∵

OA

为平面BCD的一个法向量，根据正方形的性质，易得AB与平面BCD所成角为45°，故④错误；
故答案为：①②③

点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中根据已知条件构造空间坐标系，将空间线线夹角，线面夹角转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．