Question

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+

1

40

x2（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

Answer 1

（1）设生产x件产品的平均成本为y元，则y=

25000+200x+ 1 40 x2

x

=

25000

x

+200+

1

40

x(x＞0)（2分）y′=-

25000

x2

+

1

40

（3分）
令y'=0，得x₁=1000，x₂=-1000（舍去）（4分）
当x∈（0，1000）时，y取得极小值．
由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，
因此要使平均成本最低，应生产1000件产品（6分）
（2）利润函数L(x)=500x-(25000+200x+

x2

40

)=300x-25000-

1

40

x2（8分）L′(x)=300-

x

20

（9分）
令L'（x）=0，得x=6000（10分）
当x∈（0，6000）时，L'（x）＞0
当x∈（6000，+∞）时，L'（x）＜0∴x=6000时，L（x）取得极大值，即函数在该点取得最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品（12分）