题目内容

设f(x)=-
1
3
x3+
1
2
x2+2ax
（1）若f（x）在(
2
3
，+∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为-
16
3
，求f（x）在该区间上的最大值．
（1）f′（x）=-x2+x+2a
f（x）在(
2
3
，+∞)存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在(
2
3
，+∞)有解
∵f′（x）=-x2+x+2a对称轴为x=
1
2

∴f′(x)=-x2+x+2a在(
2
3
，+∞)递减
∴f′(x)＜f′(
2
3
)=
2
9
+2a＞0
解得a＞-
1
9
．

（2）当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为
-1-
1+8a
-2
；
-1+
1+8a
-2
（舍）
∵
-1-
1+8a
-2
∈[1，4]
∴1＜x＜
-1-
1+8a
-2
时，f′（x）＞0；
-1-
1+8a
-2
＜x＜4时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+
1
6
；当x=4时，f（4）=8a-
40
3
＜f（1）
当x=4时最小∴8a-
40
3
=-
16
3
解得a=1
所以当x=
-1-
1+8a
-2
=2时最大为
10
3
练习册系列答案
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设f(x)=
1
3x+
3
，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得：f（-12）+f（-11）+f（-10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为
 
．
设f(x)=
1
3x+
3
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A、
3
B、13
3
C、
28
3
3
D、
13
3
3
设f(x)=
1
3x+
3
，则f（-12）+f（-11）+f（-10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值是
13
3
3
13
3
3
．
设f(x)=
1
3x+
3
，则f（-12）+f（-11）+f（-10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为（　　）
设f(x)=
1
3x+
3
，则f（-12）+f（-11）+f（-10）+…+f（0）+…+f（11）+f（12）+f（13）的值为（　　）
A．
3
B．13
3
C．
28
3
3
D．
13
3
3

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