Question

已知函数f(x)=loga(2x+3-x2)，且f（1）=1；
（1）求a的值；
（2）求f（x）的定义域；
（3）求f（x）的单调区间并指出其单调性；
（4）求f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．

Answer 1

分析：（1）由2x+3-x²＞0，求得x的范围，可得函数f（x）的定义域．
（2）设u=2x+3-x²，则u＞0，f（u）=log₄u，根据f（u）=log₄u是增函数，函数u的单调性，即为函数f（x）的单调性；利用二次函数的性质可得u的单调性
（3）里哦也难怪二次函数的性质求得u=2x+3-x²的最大值，可得函数f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵2x+3-x²＞0，…（2分）∴-1＜x＜3，…（3分）
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．…（4分）
（2）设u=2x+3-x²，则f（u）=log₄u．…（5分）
∵f（u）=log₄u是增函数，…（6分）
∴当x∈（-1，1）时，函数u=2x+3-x²是单调增函数；此时原函数为增函数．…（8分）
当x∈（1，3）时，函数u=2x+3-x²是单调减函数，此时，原函数为减函数．
故原函数的单调增区间为（-1，1），单调减区间为（1，3）．…（10分）
（3）∵当x=1时，u=2x+3-x²有最大值是4，…（12分）
∴当x=1时，函数f（x）有最大值是1．…（14分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，复合函数的单调性，求函数的最值，属于中档题．