Question

【题目】已知数列中，，其前项和满足：.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证： ；

（3）设(为非零整数，)，是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立.若存在求出的值，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析.（3）存在，

【解析】

（1）由变形为，即，再利用等差数列的定义求解.

（2）由（1）知，得到 ，然后利用裂项相消法求和再放缩即可.

（3）由，得到， 将对任意，都有恒成立，转化为恒成立，即恒成立. 再分为奇数和偶数两种情况讨论求解

（1）由已知可得，

即：且，

∴数列是以为首项，公差为的等差数列，

∴.

（2）由（1）知，

∴ ，

∴，

==，

=，

∵ ∴，

∴，

即 .

（3）∵，

∴，

假设存在确定的值，使得对任意，都有恒成立，

即，对任意恒成立，

即，对任意恒成立，

即：，对任意恒成立.

①当为奇数时，即恒成立，

当且仅当时，有最小值为，

∴，

②当为偶数时，即恒成立，

当且仅当时，有最大值，

∴，

即，

又为非零整数，则.

综上所述：存在，使得对任意，都有.