Question

已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）求a的值
（2）判断函数f（x）的单调性（不用证明），并解关于t的不等式f（1-t）+f（3-2t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的性质可得f（0）=1-

4

2+a

=0，由此求得a的值．
（2）根据a=2可得f（x）的解析式，结合解析式可得函数在（-1，1）上是增函数．不等式即f（1-t）＜f（2t-3），再由 

-1＜1-t＜1 -1＜2t-3＜1 1-t＜2t-3

，求得不等式的解集．

解答：解：（1）∵已知函数f（x）=1-

4

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=1-

4

2+a

=0，∴a=2．
（2）根据a=2可得f（x）=1-

4

2×2x+2

=1-

2

2x+1

，显然在（-1，1）上是增函数．
由于t的不等式f（1-t）+f（3-2t）＜0，可得f（1-t）＜-f（3-2t）=f（2t-3）．
∴

-1＜1-t＜1 -1＜2t-3＜1 1-t＜2t-3

，
解得

4

3

＜t＜2，故不等式的解集为（

4

3

，2）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，判断函数的单调性，利用函数的单调性和求偶性解不等式，属于中档题．