Question

设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点.

（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，）到点F₁、F₂的距离之和等于4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）由椭圆上的点A到点F₁、F₂的距离之和是4，可得2a = 4，即a=2.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分

又点A（1，）在椭圆上，因此=1，解得b²=3，于是c²=1.。。。。。 2分

所以椭圆C的方程为=1.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分                                          

（Ⅱ）设椭圆C上的动点的坐标为（x₁，y₁），点的坐标为（x，y）.

由（Ⅰ）知，点F₁的坐标为，则， 即x₁=2x+1 y₁=2y.  。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

因此=1，即为所求的轨迹方程。。。6分