Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

cosωxcos（

π

2

-ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为

π

2

．
（1）求f（

π

6

）的值．
（2）若函数 f（kx+

π

12

）（k＞0）在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式进行化简，再由相邻两条对称轴之间的距为

π

2

求出最小正周期，进而可确定ω的值，从而可确定函数f（x）的解析式，最后将x=

π

6

即可求出答案．
（2）先将x=kx+

π

12

代入到函数f（x）中，然后为使得在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增必须要

T

4

≥

π

3

，进而可确定k的范围．

解答：解：f（x）=sin²ωx+

3

cosωx×cos（

π

2

-ωx）
=

1-cosωx

2

+

3

cosωx×sinωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

因为函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为

π

2

，
即是两个最值点距离，即是

T

2

=

π

2

，所以T=π=

2π

2ω

，故ω=1
所以f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

（1）f（

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

（2）因为f（kx+

π

12

）=sin2kx，要在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增，
则必须

T

4

≥

π

3

，T=

2π

2K

，所以，可求得k≤

3

4

，又已知k＞0，则解得0＜k≤

3

4

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的正弦公式的应用和正弦函数的性质--单调性、最值．考查考生对基础知识的简单综合和灵活运用．