Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值；
（3）令函数g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5，试问是否存在实数a，使得对任意的实数x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数得f（-x）+f（x）=0对定义域中的任意实数x均成立，代入可求m
（2）因为函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），需要考虑（n，a-2）与定义域的关系，故分类讨论①当n＜a-2≤-1时，0＜a＜1，②当1≤n＜a-2时，a＞3，分别求解函数的值域即可
（3）由题意可得g（x）=-ax²+8x+3，假设存在实数a，使得对任意的实数x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，则有

-ax2+8x+3≥-5 -ax2+8x+3≤5

对任意的实数x∈（1，2]恒成立，即

a≤ 8(x+1) x2 a≥ 8x-2 x2

对任意的实数x∈（1，2]恒成立，结合二次函数的性质可求

解答：解：（1）由函数f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数
得f（-x）+f（x）=0对定义域中的任意实数x均成立．（2分）
∴loga

mx+1

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0．
即     

mx+1

-x-1

•

1-mx

x-1

=1
即m²x²-1=x²-1对定义域中的任意实数x均成立．
∴m²=1即m=1（舍去）或m=-1．
∴m=-1．（6分）
（2）因为函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），（7分）
∴①当n＜a-2≤-1时，0＜a＜1，
∴f（x）在区间（n，a-2）上为增函数，
要使值域为（1，+∞），则

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

（无解）；
②当1≤n＜a-2时，a＞3，
∴f（x）在区间（n，a-2）上为减函数，
要使f（x）的值域为（1，+∞），则

n=1 loga a-1 a-3 =1

，
∴a=2+

3

，n=1．（12分）
（3）g（x）=-ax²+8（x-1）a^f（x）-5=-ax²+8x+3，（13分）
假设存在实数a，使得对任意的实数x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立，
则有 

-ax2+8x+3≥-5 -ax2+8x+3≤5

对任意的实数x∈（1，2]恒成立，
即   

a≤ 8(x+1) x2 a≥ 8x-2 x2

对任意的实数x∈（1，2]恒成立，
令

1

x

=t，则有

a≤8(t2+t) a≥8t-2t2

对任意的实数t∈[

1

2

，1)恒成立，
因为函数8（t²+t）在t∈[

1

2

，1)上递增，所以函数8（t²+t）的最小值为6，
所以 a≤6；
因为函数8t-2t²在t∈[

1

2

，1)上递增，所以函数8t-2t²＜6，
所以a≥6．
综上，a=6
所以，存在a=6使得对任意的实数x∈（1，2]，-5≤g（x）≤5恒成立．（18分）

点评：本题主要考查了奇函数的定义的应用，函数的值域的求解，体现了分类讨论思想的应用，解决本题（3）的关键在于“转化”，先将转化为恒成立问题，再以t=

1

x

将问题转化为二次函数问题，最终得以解决