Question

已知数列{a_n}是首项为1的等差数列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），若a₂，a₄+2，3a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}是首项为1的等差数列，且a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₂，a₄+2，3a₅成等比数列，求出数列的公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₂，a₄+2，3a₅成等比数列，∴（a₄+2）²=3a₂a₅，
∵数列{a_n}是首项为1的等差数列，∴a_n=1+（n-1）d，
∴3（d+1）²=（1+d）（1+4d）
∴d=2或d=-1，
又a_n+1＞a_n（n∈N^*），∴d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1
（Ⅱ）b_n=

1

anan+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．