Question

已知函数h（x）=lnx+
（1）若g（x）=h（x+m），求g（x）的极小值；
（2）若φ（x）=h（x）--2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与-3的大小关系，并说明理由；
（3）若f（x）=h（x）-，设S_n=．是否存在正整数n，使得当n＞n时，恒有S_n+T_n＜+nln4．若存在，求出一个满足条件的n，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得g（x）的表达式，求导数判单调性可得极小值；（2）可得φ（x），求导数可得极值M，构造函数v（x）=-1+2lnx-2x，再次求导数判单调性可得；（3）由数列的求和方法分别求得S_n和T_n，归纳可得，累加可得，可得存在正整数n=2014使之成立．
解答：解：（1）∵g（x）=h（x+m）
∴g（x）=ln（x+m）+  （x＞-m）
∴g′（x）=-= 

x	（-m，1-m）	1-m	（1-m，+∞）
g′（x）	-		+
g（x）	递减	极小值	递增

所以g（x）_极小值=g（1-m）=1
（2）由题意可得φ（x）=h（x）--2x=ax²-2x+lnx  （x＞0）
求导数可得φ′（x）=2ax-2+=  （x＞0），
∵φ（x）有两个不同的极值点，∴2ax²-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的实根．
设p（x）=2ax²-2x+1，设两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则有，解之可得，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
φ′（x）	+		-		+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴
又p（x）=0在（0，+∞）的两根为x₁，x₂∴
∴=
∴2M=-1+2lnx₂-2x₂，∵ ，∴x₂＞1，
令v（x）=-1+2lnx-2x，v′（x）=-，
∴x＞1时，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）递减，
∴x＞1时，v（x）=-1+2lnx-2x＜v（1）=-3
∴2M＜-3
（3）要使n＞n时，恒有即：
∵.；
=
同理：=
∴
由（1）的结论，令m=1得即：
∴即：，…
累加：＜ln2即：
又
∴
要使只需要，即：n＞2014
综上所述，存在正整数n=2014，使得当n＞n时，恒有nln4＜S_n+T_n＜+nln4
点评：本题考查导数的极值和数列的综合，涉及数列的求和以及表达式的综合应用，属难题．