Question

设函数f（x）=lnx+ax（a＜0）．
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）+m＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，2）为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=-1时，f（x）=lnx-x，求出导数f′（x），由此利用导数工具研究f（x）的单调性和最大值，最后利用要使f（x）+m＜0恒成立，即f（x）＜-m恒成立，从而得出实数m的取值范围；．
（II）由f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0），得出f′（x），由f（x）在区间（0，2）为单调函数，建立关系a的不等关系，能求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞）
f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

由f'（x）=0，
解得x=1；f'（x）＞0，
解得0＜x＜1；f'（x）＜0，
解得x＞1
∴f（x）的递增区间为（0，1）；
f（x）递减区间为：（2，+∞）
故f（1）=-1为最大值．
要使f（x）+m＜0恒成立，
即f（x）＜-m恒成立⇒-1＜-m
则m＜1
（II）f（x）=lnx+ax（x＞0，a＜0）
f′(x)=

1

x

+a=

ax+1

x

由f'（x）=0，
解得x=-

1

a

；f'（x）＞0，
解得0＜x＜-

1

a

；
f'（x）＜0，
解得x＞-

1

a

要f（x）在区间（0，2）为单调函数，
则

- 1 a ≥2 a＜0

⇒-

1

2

≤a＜0．
故实数a的取值范围[-

1

2

，0）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用、利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，推理论证能力．