Question

如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，
所以是的中点.又点是棱的中点，
所以是的中位线，.                      ……………2分
因为平面,平面，
所以平面.                                       ……………4分
（Ⅱ）证明：由题意，,
因为,所以，.               ……………6分
又因为菱形，所以. …………7分
因为,
所以平面，          ……………8分
因为平面，
所以平面平面.      ……………9分
（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.     ……………10分
由（Ⅱ）知，平面，
所以为三棱锥的高.                         ……………11分
的面积为，  ……………12分
所求体积等于.                          ……………13分

解析