题目内容
（2013•兰州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．
分析：（I）由菱形的性质，得AC⊥BD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD．结合线面垂直判定定理得BD⊥平面PAC，从而得到BD⊥PC；
（II）过点B作BM⊥AD于M，则BM⊥平面PAD．然后在平面PAD内过M作MN⊥PD于N，连BN，可得PD⊥平面BMN，结合二面角平面角的定义，得到∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．再利用解直角三角形的知识，Rt△BMN中算出MN、BN的长，可得cos∠BNM=
=
，即可得到PA=AB时二面角A-PD-B的余弦值．
（II）过点B作BM⊥AD于M，则BM⊥平面PAD．然后在平面PAD内过M作MN⊥PD于N，连BN，可得PD⊥平面BMN，结合二面角平面角的定义，得到∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．再利用解直角三角形的知识，Rt△BMN中算出MN、BN的长，可得cos∠BNM=
| MN |
| BN |
| ||
| 7 |
解答：解：
（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）
（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，
过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．
在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，
则PD⊥平面BMN，
∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴BM=
AB=
，DM=1．…（10分）
又∵PA=AB，得MN=
，∴BN=
．…（11分）
∴Rt△BMN中，cos∠BNM=
=
=
．
即二面角A-PD-B的余弦值为
．…（12分）
（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）
（Ⅱ）依题意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD与平面ABCD的交线为AD，
过点B作BM⊥AD，垂足为M，则BM⊥平面PAD．
在平面PAD内过M作MN⊥PD，垂足为N，连BN，
则PD⊥平面BMN，
∴∠BNM为二面角A-PD-B的平面角．…（9分）
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴BM=
| ||
| 2 |
| 3 |
又∵PA=AB，得MN=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴Rt△BMN中，cos∠BNM=
| MN |
| BN |
| ||||
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| ||
| 7 |
即二面角A-PD-B的余弦值为
| ||
| 7 |
点评：本题在三棱锥中求证线线垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直的判定与性质、二面角平面角的作法和解三角形有关系知识，属于中档题．
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