Question

已知函数f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的值域是[1，3]．
（1）求b，c；
（2）判断函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的值域是[1，3]，利用判别式法，我们可以构造出一个关于b，c的方程组，解方程组即可得到b，c的值；
（2）由（1）的结论我们易给出函数F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我们可以判断出F（x₁）与F（x₂）的大小，结合函数单调性的定义，我们易判断出函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的单调性．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的定义域为R
令y=

2x2+bx+c

x2+1

，则y∈[1，3]
则（2-y）x²+bx+（c-y）=0一定有实根
即b²-4（c-y）（2-y）≥0
即4y²-（8+4c）y+8c-b²≤0
又∵[1，3]
∴1+3=

8+4c

4

，1×3=

8c-b2

4

解得b=-2，c=2
（2）由（1）得f(x)=

2x2-2x+2

x2+1

∴F（x）=lgf（x）=lg

2x2-2x+2

x2+1

任取区间[-1，1]上两个数x₁，x₂且x₁＜x₂
则F（x₁）-F（x₂）=lg

2x12-2x1+2

x12+1

-lg

2x22-2x2+2

x22+1

∵

2x1 2-2x1+2

x1 2+1

=2+

-2x1

x1 2+1

，

2x2 2-2x2+2

x2 2+1

=2+

-2x2

x2 2+1

，
又外层函数是增函数，故比较

-2x2

x2 2+1

与

-2x1

x1 2+1

的大小即可
因为lg

-2x1

x12+1

-lg

-2x2

x22+1

=lg

x1(x22+1)

(x12+1)x2

＞0
即F（x₁）＞F（x₂）
故函数F（x）=lgf（x）在[-1，1]上单调递减

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明及函数值域的求法，其中利用判别式法构造出一个关于b，c的方程组，求出b，c的值是解答本题的关键．