Question

（2012•黄浦区一模）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB=3，AD=2，AA₁=2，如图所示，则异面直线AB₁与DA₁所成的角是

arccos

26

13

（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：由题意可得，DA₁∥CB₁，将异面直线AB₁与DA₁所成的角转化为AB₁与CB₁所成的角，在△ACB₁中，利用余弦定理即可求得答案．

解答：解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁的长方体，
∴DA₁∥CB₁，
∴AB₁与DA₁所成的角就是AB₁与CB₁所成的角∠AB₁C，
在△ACB₁中，AB₁=

9+4

=

13

，CB₁=2

2

，AC=

13

，
∴由余弦定理得，
cos∠AB₁C=

AB12+CB12-AC2

2×AB1×CB1

=

8

2× 13 ×2 2

=

2

26

=

26

13

．
∴0＜∠AB₁C＜

π

2

∴∠AB₁C=arccos

26

13

．
故答案为：arccos

26

13

．

点评：本题考查异面直线及其所成的角，考查反三角函数的运用，将异面直线AB₁与DA₁所成的角转化为AB₁与CB₁所成的角是关键，属于中档题．