题目内容

已知两曲线f（x）=cosx，g（x）=sin2x，x $数学公式$ ．
（1）求两曲线的交点坐标；
（2）设两曲线在交点处的切线分别与x轴交于A，B两点，求AB的长．

解：（1）由cosx=sin2x，得cosx=2sinxcosx，
∵x $\text{[math]}$ ．
∴cosx≠0，∴sinx= $\text{[math]}$
∴x= $\text{[math]}$ ，f（x）=cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴两曲线的交点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2）∵f′（x）=-sinx
∴f′（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
∴曲线f（x）在交点处的切线方程为y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
∴A（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，0）
∵g′（x）=2cos2x
∴g′（ $\text{[math]}$ ）=1
∴曲线f（x）在交点处的切线方程为y- $\text{[math]}$ =x- $\text{[math]}$
∴B（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，0）
∴AB= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）令f（x）=g（x），利用二倍角公式解三角方程即可得交点横坐标，再代入函数解析式计算纵坐标即可
（2）利用导数的几何意义，先分别计算两条曲线的在交点处的切线方程，从而得其与x轴交点A，B的坐标，最后计算两点距离即可
点评：本题考察了导数的几何意义，求曲线切线方程的方法，能解简单的三角方程，会利用二倍角公式化简三角式