Question

已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在实数k，使直线y＝kx＋2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D(1,0).若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)由＝，a·b＝··，得a＝，b＝1，所以椭圆方程是＋y²＝1.

(2)存在.

将y＝kx＋2代入＋y²＝1，

得(3k²＋1)x²＋12kx＋9＝0(*)

记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，以PQ为直径的圆过D(1,0)，则PD⊥QD，即(x₁－1，y₁)·(x₂－1，y₂)＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂＝0，又y₁＝kx₁＋2，y₂＝kx₂＋2，得

(k²＋1)x₁x₂＋(2k－1)(x₁＋x₂)＋5＝0，

又x₁x₂＝，x₁＋x₂＝－，代入上式解得

k＝－，

此时(*)方程Δ>0，∴存在k＝－，满足题设条件.