Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

1

2

，能够导出a2=

4

3

b2．再由b=

6

1+1

=

3

可以导出椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1.

得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆C上．由

y=m(x-1) x2 4 + y2 3 =1.

得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．再由根据判别式和根与系数的关系求解

OM

•

ON

的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得

OM

•

ON

的取值范围，综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

1

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

．
即a2=

4

3

b2．
又因为b=

6

1+1

=

3

，
所以a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 3 =1.

得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则A（x₁，-y₁）．
直线AE的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．
令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

．
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入，
整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x1+x2=

32k2

4k2+3

，x1x2=

64k2-12

4k2+3

代入②
整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）在椭圆C上．
由

y=m(x-1) x2 4 + y2 3 =1.

得（4m²+3）x²-8m²x+4m²-12=0．
易知△＞0．
所以xM+xN=

8m2

4m2+3

，xMxN=

4m2-12

4m2+3

，yMyN=-

9m2

4m2+3

．
则

OM

•

ON

=xMxN+yMyN=-

5m2+12

4m2+3

=-

5

4

-

33

4(4m2+3)

．
因为m²≥0，所以-

11

4

≤-

33

4(4m2+3)

＜0．
所以

OM

•

ON

∈[-4，-

5

4

)．
当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．
解得M(1，-

3

2

)，N（1，

3

2

）或M（1，

3

2

）、N（1，-

3

2

）．
此时

OM

•

ON

=-

5

4

．
所以

OM

•

ON

的取值范围是[-4，-

5

4

]．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线 与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．