Question

在如右图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

  

Answer 1

(1)证明　因为MA⊥平面ABCD，

PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.        ……………2分

因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.              ……………4分

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.                                ……………6分

(2)解　因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，

则PD＝AD＝2，

所以V_P－ABCD＝S_{正方形ABCD}·PD＝.                   ……………8分

由题意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA，

所以DA即为点P到平面MAB的距离，

所以V_P－MAB＝××1×2×2＝.                   ……………11分

所以V_P－MAB∶V_P－ABCD＝1∶4.                      ……………12分