Question

【题目】已知.

（1）对一切， 恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求函数在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；

（3）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

【答案】（1） （2）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据对一切恒成立，也就是在恒成立，下面只要求出函数的最小值，使得小于函数的最小值即可；（2）要求函数最值，不管遇到什么特殊的函数，一定要按照求最值的方法按部就班的来解，首先求导，令导函数对于零，得到可能是极值点，根据极值点和区间两个端点之间的关系，得到结果；（3）要证不等式在一个区间上恒成立，把问题进行等价变形，由（2）知时， 的最小值是，只要求函数最大值进行比较即可.

试题解析：（1）对一切恒成立，即恒成立.

也就是在恒成立. 令 ，

则，

在上，在上，

因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.

（2）当,，由得.

①当时，在上，在上

因此，在处取得极小值，也是最小值. .

由于

因此，.

②当，，因此上单调递增，所以，.

（3）证明：问题等价于证明,

由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，

设，则，易知

，当且仅当时取到，

但从而可知对一切，都有成立.