Question

已知点P（m，n）是位于第一象限，是在直线x+y-1=0上，则使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的实数a的取值范围是

 

Answer 1

分析：先根据点P的位置确定m，n的符号，再代入到直线x+y-1=0中得到m+n是定值，再求出

1

m

+

4

n

的最小值，最后令a小于等于该最小值即可．

解答：解：∵点P（m，n）是位于第一象限∴m＞0，n＞0
∴m+n-1=0即m+n=1
∵使不等式

1

m

+

4

n

≥a恒成立的实数a要满足a小于等于

1

m

+

4

n

的最小值即可
∵

1

m

+

4

n

= (

1

m

+

4

n

)(m+n)=1+4+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m × 4m n

=9
当且仅当n=2m，即n=

1

2

，m=

1

4

时等号成立
∴a≤9
故答案为：（-∞，9]．

点评：本题主要考查基本不等式的应用．基本不等式是高考的重点也是高考的热点问题，一定要做到灵活运用．