Question

已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.

Answer 1

思路分析：“不能同时”包含情况较多,而其否定“同时大于”仅有一种情况,因此用反证法.

证法一：假设三式同时大于,

即有(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,

三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞.

又(1-a)a≤()²=.

同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤.

∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,与假设矛盾,结论正确.

证法二:假设三式同时大于,

∵0＜a＜1,∴1-a＞0,

.

同理都大于.

三式相加,得,矛盾.

∴原命题成立.