题目内容

数列{an}满足
11
9
a1+(
11
9
)2a2+…+(
11
9
)nan=
n2
2
+
n
2
，n∈N*．当an取得最大值时n等于（　　）
A、4B、5C、6D、7
分析：根据题意可求得n-1时数列满足的等式，和题设中的等式想减即可求得（
11
9
）nan =n，进而求得an，则可求得an-an-1，发现当1≤n≤5时结果大于0，n≥5时结果小于0，进而根据数列的单调性可推断出n=5时数列的值最大．
解答：解：
11
9
 a1=
1
2
（12+1）
a1=
9
11

11
9
a1+(
11
9
)2a2+…+(
11
9
)nan=
n2
2
+
n
2

11
9
a1+(
11
9
)2a2+…+(
11
9
)n-1an-1=
(n-1)2
2
+
n-1
2
两式想减可得（
11
9
）nan =n
∴an=n•（
9
11
）n
∴an-an-1=n•（
9
11
）n-（n-1）•（
9
11
）n-1=
11-2n
9
•（
9
11
）n
∴1≤n≤5时an-an-1＞0，数列成递增趋势，n≥5时an-an-1＜0，数列成递减趋势，
∴n=5时an最大
故选B．
点评：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是利用了数列的单调性来确定数列的最大值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
x
2x+1
，x∈(0，+∞)，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）；数列{bn}满足b1=
1
2
，bn+1=
1
1-2f(Sn)
，其中Sn为数列{bn}前n项和，n=1，2，3…
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设Tn=
1
a1b1
+
1
a2b2
+…+
1
anbn
，证明Tn＜5．
（2012•上海）已知f(x)=
1
1+x
，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012，则a20+a11的值是
13
5
+3
26
13
5
+3
26
．
（2013•宜宾二模）已知函数ft（x）=
1
1+x
-
1
(1+x)2
（t-x），其中t为正常数．
（Ⅰ）求函数ft（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）设数列{an}满足：a1=
5
3
，3an+1=an+2，（1）求数列{an}的通项公式an； （2）证明：对任意的x＞0，
1
an
≥f
2
3n
（x）（n∈N*）；
（Ⅲ）证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＞
n2
n+1
．
（2012•德阳二模）数列{an}满足a1=2，an+1=
11-an
(n∈N*)，则{an}的前2012项的和为．
1006
1006
．
（2012•蓝山县模拟）已知函数f（x）=ax-
b
x
-2lnx，f(1)=0．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线垂直于y轴，数列{an}满足an+1=f′(
1
an+1
)-nan+1．
①若a1≥3，求证：an≥n+2（n∈N*）；
②若a1=4，试比较
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
与
2
5
的大小，并说明你的理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网